Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

c) f(x, y, z) = sen(z) / (e^x + e^y)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar onde a função f ( x ,   y ,   z ) é contínua e se ela tem alguma descontinuidade.

Bom, pra que uma função seja contínua em um ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 , seu limite precisa existir e ser igual ao valor da função no ponto:

lim x ,  y ,   z   →   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ⁡ f ( x ,   y ,   z ) = f ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )

Mas a gente quer saber se existem descontinuidades em todo domínio. Então, primeiro temos que verificar o domínio da função. E pra verificar o domínio, temos que verificar se existem restrições para ( x ,   y ,   z ) . Assim, temos que garantir que:

- nas frações o denominador não pode valer zero;

- dentro das raízes quadradas não pode ter n��mero negativo;

- o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo.

Se houverem restrições, vamos verificar as condições de continuidade nesses pontos do domínio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando o domínio da nossa função f x ,   y ,   z = sin ⁡ z e x + e y . Nós temos uma fração e nós sabemos que o denominador dela não pode ser zero. Dessa forma, nossa única condição seria:

e x + e y ≠ 0

Só que a função exponencial já é sempre diferente de zero, por definição. Observe o gráfico abaixo e repare que ela nunca toca o plano ( x ,   y ) :

Nosso domínio será:

D f = x ,   y ,   z ∈   R 3

Sendo assim, nossa função não apresenta descontinuidades e está definida para todo R 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n t í n u a   e m   t o d o   R 3

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