UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Gabriela Coutinho - Lista 4, Questão 6e
Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar onde a função é contínua e se ela tem alguma descontinuidade.
Bom, pra que uma função seja contínua em um ponto , seu limite precisa existir e ser igual ao valor da função no ponto:
Mas a gente quer saber se existem descontinuidades em todo domínio. Então, essa condição precisa ser satisfeita para todos os pontos do domínio. Assim, vamos calcular o limite e verificar as condições de existência da função.
Vamos lá!
Passo 2
Como temos uma função definida por partes:
Nós já sabemos que . Agora temos que verificar o valor do limite nesse ponto, quando :
Fazendo uma substituição de variáveis e chamando , temos:
Que é o nosso limite fundamental de valor . Sendo assim, vamos ter:
E olha só que legal, é o mesmo valor da função no ponto:
Portanto, nossa função é contínua em todo .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉