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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

  1. Dizemos que f tem uma descontinuidade removível no ponto x   =   a quando existe o limite lim x → a ⁡ f x mas f não contínua ou não está definida neste ponto. Este é o caso da função f x = x 2     -   1 x   –   1     que não está definida em x   =   1 , mas satisfaz lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x + 1 = 2   Note que podemos incluir o ponto x = 1 no domínio fazendo f ( 1 )   =   2 . Com essa definição, a (nova) função f   ´é contínua em x   =   1 . Para cada uma das funções abaixo, determine os (possíveis) pontos de descontinuidade removível.

c. f x = 5 ∙ s e n ( x ) x

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente o conceito de continuidade.

Primeiramente vamos relembrar a definição de continuidade que nos diz que uma função é contínua em um ponto x = a se

  1. f a   e s t á   d e f i n i d a ,   o u   s e j a ,   e x i s t e   i m a g e m   n o   p o n t o   x = a
  2. Existir lim x → a ⁡ f ( x )
  3. lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Então basicamente, dizer que uma função é contínua em a significa dizer que ela obedece a todas as condições acima.

Passo 2

Vamos agora observar a função dada, f x = 5 ∙ s e n ( x ) x .

Se fizermos x = 0 teremos f 0 = 5 ∙ s e n ( 0 ) 0 = 0 0 e esse número não existe, logo, temos uma descontinuidade nesse ponto, pois não existe f 0 . Porém, se multiplicarmos o numerador e o denominador da expressão por x teremos. 5 ∙ s e n ( x ) x = 5 ∙ s e n x ∙ x x ∙ x = s e n ( x ) x ∙ 5 x

e, lim x → 0 ⁡ 5 ∙ s e n ( x ) x = lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x ∙ 5 x = lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x ∙ lim x → 0 ⁡ 5 x = 1 ∙ 0 = 0

note que isso só foi possível porque utilizamos o limite fundamental trigonométrico lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) x = 1

ele permitiu que chegássemos em uma simples multiplicação, ao invés de uma indefinição como, por exemplo 0 0 .

Por hoje é isso galeraa, até mais breve.

Resposta

c) x = 0

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )