UFCG – Cálculo Diferencial e Integral I – AV1, 2021.2 – 1d
Encontre o domínio das seguintes funções:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função e pediu pra gente encontrar o domínio dela. Mas o que é o domínio de uma função?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis que a variável independente da função pode assumir. E quem é a variável independente?
Bom, no nosso caso, como temos uma – uma função que depende de – logo, nossa variável independente é o . Então, quais são os valores que pode assumir na função? Ou melhor, quais são os valores que não pode assumir na função para garantir sua existência?
Passo 2
Os valores que não pode assumir na função são as chamadas restrições. O domínio nem sempre vai ser um conjunto completo, muitas vezes, a variável independente não poderá assumir alguns valores específicos. Mas quais seriam esses valores?
No nosso caso, temos a função:
Para pensar em quais valores pode ou não assumir, vamos pensar nas restrições da função.
Nós temos a soma de duas funções, e . Na primeira delas, a única coisa que não pode ocorrer é nosso denominador ser zero, lembra que não existe divisão por zero? Então, já temos aí uma restrição.
Na segunda função, , nós também não podemos ter zero no denominador. Além disso, como temos uma raiz quadrada, e não existe raiz quadrada de número negativo, essa parte também precisa ser positiva.
Traduzindo isso matematicamente, temos:
E
A partir dessas duas restrições, nós podemos encontrar os valores que não pode assumir, para garantir a existência da função.
Passo 3
Vamos começar com nossa primeira restrição:
Isolando , nós temos:
Calculando a raiz dos dois lados:
Então, precisa ser diferente de e para que a nossa função esteja definida. Ou seja, temos:
Beleza, isso quer dizer que ela não pode assumir esses dois valores e tem que estar dentro desse intervalo, mas e antes de ? Bom, nossa função não nos dá nenhuma restrição quanto a isso, então nós podemos dizer que ela também está definida em:
Ou seja, nos intervalos e a função existe. Agora vamos ver o que acontece quando ela é maior que .
Passo 4
Olhando para a nossa segunda restrição:
Vamos isolar aqui também:
Multiplicando por dos dois lados, nós obtemos:
Então, nós percebemos que para garantir a existência da função , precisa estar antes de , entre e ou entre e . Mas não pode assumir nenhum desses valores, por que isso geraria uma indeterminação ou uma singularidade (a função não estaria definida naquele ponto).
Agora chegou a hora de juntar tudo para definirmos nosso domínio:
Isso também pode ser escrito assim:
Significa que o domínio tá unido, , nesses intervalos.
É isso, galera. Valeu! 😉