Encontre tal que a função abaixo seja contínua em
Passo 1
Simbora. A questão quer saber da continuidade da função em . Mas como essa questão é definida por partes, a gente precisa ir com calma! Pra uma função definida por partes ser contínua, precisa ser verdade a igualdade abaixo:
Então partiu calcular cada um desses termos
Passo 2
Calculando e
Bem, a função como é definida por partes tem duas leis de formação. Qual usar em cada caso vai depender. Pelo enunciado, a gente consegue ver que:
Então é essa lei de formação mesmo que vamos usar pra . Sem mais delongas, bora pras contas:
Agora, pra calcular a gente tem que pensar da mesma forma, beleza? Como significa tendendo a por valores maiores que , a lei de formação que vamos usar vai ser a mesma! Sendo assim:
Show de bola, parte da questão tá feita! Provamos que:
Passo 3
Calculando
Só agora que a gente vai precisar trocar de lei de formação. Porque? Bem, agora o limite vai ser pra , ou seja, pra tendendo a por valores menores que , ou seja pra . Vamos ter então:
O limite vai ser então:
Passo 4
Juntando tudo
Agora que calculamos os dois limites e também, aplicando à condição de continuidade, vamos ter que:
Show de bola, só achar e partir pro abraço. Vamos lá: