Encontre valores apropriados para m e b de modo que a função

f x = x 2 ,     x < 1 m x + b ,     x ≥ 1

seja derivável em 1 e faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrarmos os valores de m e b da seguinte função:

f x = x 2 ,     x < 1 m x + b ,     x ≥ 1

Para que ela seja derivável em 1 .

Para que isso ocorra, a derivada da função para x < 1 deve ser igual a derivada da função para x ≥ 1 .

Em outras palavras, devemos igualar as derivadas no ponto x = 1 .

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, pela regra da potência, temos:

x 2 ' = 2 * x 2 - 1 = 2 x

Assim, no ponto x = 1 , temos que

x 2 ' 1 = 2 * 1 = 2

E

m x + b ' = 1 * m x 1 - 1 + 0 = m

Logo, no ponto x = 1 , vemos que m x + b ' = m .

Passo 3

Assim, igualando as derivadas no ponto x = 1 , temos:

m = 2

Descobrindo o valor de b :

m x + b = 1 ∴

2 x + b = 1 ∴

2 1 + b = 1 ∴

b = - 1

Assim, temos que

f x = x 2 ,     x < 1 2 x - 1 ,     x ≥ 1

Esboçando o gráfico, temos:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

m = 2

b = - 1

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