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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.1

Encontre os valores de a , b e c para que os gráficos das funções definidas por f ( x )   =   x ²   +   a x +   b e g ( x )   =     x 3 -   2 x 2 3   +   c se interceptem no ponto ( 1,2 ) e tenham a mesma reta tangente neste ponto.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar os valores de a , b e c dessas duas funções:

f ( x ) = x ² + a x + b

g ( x ) = x 3 -   2 x 2 3 + c

Para isso elas devem interceptar o mesmo ponto 1,2 , ou seja, aqui vamos igualar as expressões fazendo x = 1 .

Também, as funções devem ter a mesma reta tangente no ponto 1,2 , ou seja, suas derivadas nesse ponto são iguais!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, fazendo f 1 = g 1 , temos:

1 2 + a * 1 + b = 1 3 -   2 * 1 2 3 + c ∴

1 + a + b = 1 + c ∴

a + b = c

Passo 3

As derivadas de cada função são dadas por:

f ' ( x ) = 2 x + a

g ' x = 2 3 x 2 - 2 3 x 3 - 2 x 1 / 3

Igualando as duas no ponto 1,2 , temos:

f ' 1 = g ' 1 ∴

2 * 1 + a = 2 3 1 2 - 2 3 1 3 - 2 1 1 3 ∴

2 + a = - 2 3 ∴

a = - 8 3

Agora vamos encontrar os valores de b e c !!

Passo 4

No ponto 2,1 , f x é dada por:

f x = x 2 + a x + b ∴

f 1 = 1 2 + a 1 + b ∴

2 = 1 2 + a 1 + b ∴

a + b = 1

Substituindo a , temos:

b = 1 - - 8 3 ∴

b = 11 3

Por fim, substituindo os valores de a e b na equação do Passo 2, temos:

a + b = c ∴

c = - 8 3 + 11 3 ∴

c = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a = - 8 3

b = 11 3

c = 1

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