Encontre os valores de a , b e c para que os gráficos das funções definidas por f(x) = x² + a*x + b e g(x) = raiz((x^3 - 2x)^(1/2)) + c se interceptem no ponto (1,2) e tenham a mesma reta tangente neste ponto.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar os valores de a , b e c dessas duas funções:

f ( x ) = x ² + a x + b

g ( x ) = x 3 -   2 x 2 3 + c

Para isso elas devem interceptar o mesmo ponto 1,2 , ou seja, aqui vamos igualar as expressões fazendo x = 1 .

Também, as funções devem ter a mesma reta tangente no ponto 1,2 , ou seja, suas derivadas nesse ponto são iguais!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, fazendo f 1 = g 1 , temos:

1 2 + a * 1 + b = 1 3 -   2 * 1 2 3 + c ∴

1 + a + b = 1 + c ∴

a + b = c

Passo 3

As derivadas de cada função são dadas por:

f ' ( x ) = 2 x + a

g ' x = 2 3 x 2 - 2 3 x 3 - 2 x 1 / 3

Igualando as duas no ponto 1,2 , temos:

f ' 1 = g ' 1 ∴

2 * 1 + a = 2 3 1 2 - 2 3 1 3 - 2 1 1 3 ∴

2 + a = - 2 3 ∴

a = - 8 3

Agora vamos encontrar os valores de b e c !!

Passo 4

No ponto 2,1 , f x é dada por:

f x = x 2 + a x + b ∴

f 1 = 1 2 + a 1 + b ∴

2 = 1 2 + a 1 + b ∴

a + b = 1

Substituindo a , temos:

b = 1 - - 8 3 ∴

b = 11 3

Por fim, substituindo os valores de a e b na equação do Passo 2, temos:

a + b = c ∴

c = - 8 3 + 11 3 ∴

c = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a = - 8 3

b = 11 3

c = 1

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.F(x) = sen^(-1)(x^2 - 1)
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