UFMG, Cálc.1, P1, 1
Encontre os valores de e que tornam continua em toda parte.
Calcule
Passo 1
Falaaaa, beleza??? Bora lá começar esse probleminha de cálculo.
Esse tipo de questão é bem importante para entender o conceito de continuidade, bora dar uma lembrada nesse conceito?
De forma um pouco menos formal, dizemos que é contínua em toda parte, se em cada ponto de temos:
Ou seja, se o limite no ponto é igual ao valor da função no ponto.
Pra que esse limite seja igual a , ele precisa existir, então tem outra coisinha que deve rolar, consegue lembrar?
Para isso, precisamos que:
Então, resumidamente, precisamos que os limites laterais dessa funçãozinha do enunciado sejam iguais, para todo ponto.
Mas a gente não vai precisar olhar pra todos os pontos não, porque as funções que temos são polinomiais, então elas já são contínuas. Só a função que é descontínua em , pro denominador não zerar, mas esse ponto já é um dos nossos pontos de interesse porque muda a expressão de .
Os pontos “limites” ou problemáticos, que nesse caso fazem a expressão de mudar, ou seja, os pontos são os únicos que podem dar problema. Então vamos analisar o limite nesses pontos.
Passo 2
Então bora lá calcular esses limites laterais nos pontos problemáticos e depois forçar a igualdade:
Só para constar, colocamos esse valor de pois estamos sobre valores de na esquerda de 2.
Agora, como encontramos uma indeterminação, vamos lembrar a seguinte fatoração:
Aplicando isso no limite:
Bora cortar :
E como foi dito anteriormente, o limite a direita e a esquerda de 2 deve ser igual, ou seja, queremos que:
Dai, temos que:
E por isso, temos a primeira relação
Bora guardar essa informação e analisar os outros limites.
Passo 3
E bora lá analisar o outro ponto problemático.
Vamos analisar sobre essa expressão de , pois estamos olhando para valores próximos de 3 pela esquerda, ou seja, menores que 3. Então bora lá:
Ou seja:
E como foi dito, queremos que os limites laterais sejam iguais, ou seja:
Mas nós temos que:
E por isso, temos que:
Ou seja, temos que
Passo 4
Agora bora unir as informações:
Multiplicando a primeira por 2 e subtraindo da segunda equação:
Fazendo a distribuição:
Colocando esse valor na primeira equação, temos que
E por isso, chegamos à conclusão que
E chegamos no finalzinho desse problema, bora para o próximo???