- Estude, em função dos valores , a continuidade da função dada por
- Analise a diferenciabilidade de em para os casos de e .
Passo 1
Faaaala, pessoal! Para estudar a continuidade, temos que averiguar se o limite na vizinhança da origem existe e se equivale ao valor na origem. Assim, consideremos a expansão em Taylor do cosseno:
de forma a obter:
Dado , numerador e denominador se igualam e para qualquer inclinação pela qual nos aproximemos da origem () teremos o mesmo valor, logo:
E também . Logo, para , a função é contínua em e em seu domínio – na qual é contínua por composição de contínuas. Para qualquer , a identidade polinomial nos garante o valor da razão dependerá de . Ou seja, se nos aproximarmos da origem pela reta ou pela , obteríamos valores diferentes, logo é descontínua em .
Resposta
A função é contínua na origem apenas para .