Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Continuidade

Ver Teoria
Exercício 181123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

  1. Lembrando que lim x → 0 ⁡ s e n x = 0 e lim x → 0 ⁡ c o s x = 1 , verifique que lim θ → 0 ⁡ s e n θ + a = s e n ( a ) . Conclua daí que a função seno é contínua

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente o conceito de continuidade.

Primeiramente vamos relembrar a definição de continuidade que nos diz que uma função é contínua em um ponto x = a se

  1. f a   e s t á   d e f i n i d a ,   o u   s e j a ,   e x i s t e   i m a g e m   n o   p o n t o   x = a
  2. Existir lim x → a ⁡ f ( x )
  3. lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Então basicamente, dizer que uma função é contínua em a significa dizer que ela obedece a todas as condições acima.

Passo 2

Vamos também lembrar da fórmula do seno da soma de dois arcos

s e n α + β = s e n α ∙ cos ⁡ β + s e n β ∙ cos ⁡ α

agora, podemos reescrever nosso limite e,

lim θ → 0 ⁡ s e n θ + a = lim θ → 0 ⁡ s e n θ ∙ cos ⁡ a + s e n a ∙ cos ⁡ θ = cos a ∙ lim θ → 0 ⁡ s e n ( θ ) + sen a ∙ lim θ → 0 ⁡ c o s θ = cos ⁡ a ∙ 0 + s e n a ∙ 1 = s e n ( a )

A partir do limite acima podemos concluir que lim x → a ⁡ s e n ( x ) = s e n ( a ) , o que garante que a condição iii está sendo satisfeita. E, se a condição iii ocorre, podemos induzir que a condição ii também ocorre (pois se já definimos o valor do limite é porque ele existe). Da mesma forma, a ocorrência da condição iii garante que a condição i também é aconteça.

Se as três condições estão ocorrendo para todos os pontos, então a função seno é contínua em todos os pontos, podendo ser chamada apenas de contínua.

Por hoje é isso galeraa, até mais breve.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )