Mostre que a função abaixo não é contínua na origem (tente procurar um δ e veja o que acontece)

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Aqui o enunciado nos pede para analisar a continuidade da função

em x = 0 . Normalmente, eu seguiria pelo caminho de analisar a definição de continuidade em termos de limites! Mas, como a questão pede para tentarmos procurar um δ , vamos usar a seguinte definição de continuidade

| x - p | < δ → | h ( x ) - h ( p ) | < ε

em que δ > 0 e ε > 0 . Ou seja, vamos procurar valores de δ e ε arbitrariamente pequenos que garantam a continuidade da função em p = 0 . Será que isso é possível? Saca só!

Passo 2

Usando então que p = 0 , temos que

| x - 0 | < δ → | h ( x ) - h ( 0 ) | < ε

como para x ≥ 0 , temos que h ( x ) = 1 , podemos escrever

| x | < δ → | h ( x ) - 1 | < ε

ou seja, como temos funções modulares, x e h ( x ) devem obedecer os seguintes intervalos

- δ < x < δ

e, também

1 - ε < h ( x ) < ε + 1

Vamos tentar escolher um valor de δ agora!

Passo 3

Se eu escolher um valor de δ = 0,1 , temos que x está no intervalo

- 0,1 < x < 0,1

Se escolhermos x no intervalo

- 0,1 < x < 0

temos que h ( x ) = x 2 , por exemplo, x = - 0,05 , obtemos que

1 - ε < ( - 0,05 ) 2 < ε + 1

nos leva ao intervalo

1 - ε < 0,0025 < ε + 1

mas se escolhermos δ = 0,05 , temos que h ( x ) = 1 , e portanto, o intervalo se torna

1 - ε < 1 < ε + 1

Note que para valores de δ dentro do mesmo intervalo, uma mesma escolha de ε não é suficiente. Se eu escolho ε = 0,1 > 0 , temos que apenas o segundo intervalo é obedecido, note que

0,9 < 0,0025 < 1,1 e 0,9 < 1 < 1,1

Sendo assim, não importa o quão pequeno seja o valor de δ , nunca conseguiremos encontrar um valor de ε que garanta a definição formal de continuidade. Ou seja, a função é descontínua! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )