UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.3b
Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina tal que remova a descontinuidade.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um tal que remova a descontinuidade.
Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,
Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar vericando a existência do limite:
Vamos tentar calcular esse limite usando as coordenadas polares:
Subsitituindo na função:
Separando o limite do produto nos produtos dos limites, temos:
Simplificando o segundo termo, vamos ter:
Agora repare que , depende apenas de , então o limite quando será ele mesmo, já que ele se comporta como constante. Já em , quando aplicado o limite, vamos ter:
Então, vai ficar:
Já que o limite existe, temos uma descontinuidade removível. Mas não existe na função , porque isso geraria uma indeterminação do tipo no argumento do seno. Pra remover essa descontinuidade podemos escrever a função na forma:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉