UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.3c
Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina tal que remova a descontinuidade.
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um tal que remova a descontinuidade.
Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,
Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar vericando a existência do limite:
Vamos tentar calcular esse limite usando as coordenadas polares:
Subsitituindo na função:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência e usando a identidade trigonométrica , temos:
Simplificando:
Assim, quando tende a zero, vamos obter:
Mas não existe na função , porque isso geraria uma indeterminação. Do tipo . Portanto, temos uma descontinuidade removível. Pra remover essa descontinuidade podemos escrever a função na forma:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉