UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cáclulo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 4.3d
Mostre que a função é descontínua na origem. Depois determine se a continuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível defina tal que remova a descontinuidade.
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função é descontínua na origem e determinar se essa descontinuidade é essencial ou removível. Se for removível, definiremos um tal que remova a descontinuidade.
Mas vamos por partes. Para que a função seja descontínua na origem, temos que o limite da função no ponto precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja,
Se esse limite existir, teremos uma descontinuidade removível. Se o limite não existir, temos uma descontinuidade essencial.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar vericando a existência do limite:
Perceba que:
Isso porque , então tem que ser menor ou igual a , pois estamos somando algo não negativo. Agora dividindo tudo por , fica:
Percebeu que nossa expressão está contida na nossa função? Basta multiplicar o que falta para que o termo do meio seja igual a nossa função. Então, multiplicando por , temos:
Agora aplicando o limite em todo mundo, temos:
Agora ficou fácil calcular os limites das extremidades:
Assim,
Portanto, pelo Teorema do Sanduiche, a única forma dessa desigualdade ser satisfeita é:
Passo 3
Mas não existe na função , porque isso geraria uma indeterminação. Do tipo . Portanto, como o limite existe, temos uma descontinuidade removível. Pra remover essa descontinuidade podemos escrever a função na forma:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉