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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 4.7

4.7. Em quais pontos a função

k x = cos ⁡ x ,     x ∈ Q s e n x ,     x ∈ R / Q

é contínua?

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que verificar em quais pontos a função definida por partes é continua.

Como vemos isso? 🤔

A função é dada por

k x = cos ⁡ x ,     x ∈ Q s e n x ,     x ∈ R / Q

Ou seja, se x for um número racional a função se comporta como cos ⁡ x e se x for um número R / Q a função se comporta como s e n x .

Isso explica alguma coisa? 👀

Passo 2

Bom... para que k x seja contínua, a mudança de comportamento deve acontecer com a mesma imagem, ou seja, cos ⁡ x tem que ser igual a s e n x .

Se igualarmos essas duas partes, temos

cos ⁡ x = s e n x

Se dividirmos tudo por cos ⁡ x ...

cos ⁡ x cos ⁡ x = s e n x cos ⁡ x

1 = t g x

E, portanto, o ângulo cuja t g é 1 , é π 4

Como queremos todos os pontos onde a t g é 1 , então temos que obter os múltiplos de π / 4

Ou seja, π / 4 , 5 π / 4 , 9 π / 4 ...

x = π 4 + n π ,     n ∈ N

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x = π 4 + n π ,     n ∈ N

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )