29. Prove pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.

d) f(x) = x^3 em p = 2

Passo 1

Falaaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos provar que a função f x = x 3 é contínua no ponto p = 2 .

Pra isso, vamos lembrar que pra uma função ser contínua num ponto a qualquer, os limites laterais nesse ponto devem ser iguais:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x

Como consequência dos limites laterais serem iguais, temos que:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = lim x → a ⁡ f x

Só falta uma condição pra função ser contínua que é o valor dela nesse ponto ser igual ao limite nesse ponto:

lim x → a ⁡ f x = f a

Então bora pro exercício...

Passo 2

Calculando primeiro o limite de f x com x tendendo a 2 pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ x 3 = 2 2

= 8

E pela direita:

lim x → 2 + ⁡ x 3 = 2 3

= 8

Passo 3

Como:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x - 2 + ⁡ f x = 8

Então:

lim x → 2 ⁡ f x = 8

E para ser contínua:

lim x → 2 ⁡ f x = f 2

Maaas, quando x = 2 temos:

f 2 = 2 3

= 8

Portanto, a função é contínua em p = 2 .

Resposta

Demonstração

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