Responda as seguintes perguntas (justifique suas respostas):

  1. Será que toda função que é contínua também é diferenciável?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos faz uma pergunta um pouquinho filosófica haha

E aí... será que toda função que é contínua também é diferenciável?

A gente sabe que para uma função ser diferenciável, ela tem que ser contínua... mas o contrário também é verdade?

Já vou respondendo logo: Não necessariamente.

Quer saber o porquê? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Então... Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela deve ter uma taxa de variação bem definida nesse ponto, ou seja, sua derivada deve existir naquele ponto.

No entanto, a continuidade de uma função apenas garante que não há descontinuidades abruptas nos valores da função, mas não necessariamente implica que a derivada exista em todos os pontos.

Existem casos em que uma função pode ser contínua em um ponto, mas a sua derivada pode não existir naquele ponto devido a uma cuspide, um "pico" ou uma "reentrância" na curva da função.

Um exemplo comum é a função valor absoluto ( | x | ).

A função | x | é contínua em x   =   0 , mas não é diferenciável nesse ponto porque a derivada não é única devido à mudança de inclina��ão da curva. Veja:

Em resumo, a continuidade é uma condição mais fraca do que a diferenciabilidade.

Todas as funções diferenciáveis são contínuas, mas nem todas as funções contínuas são diferenciáveis.

A diferenciabilidade de uma função depende da sua suavidade e da existência de uma taxa de variação bem definida em cada ponto do seu domínio.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Não

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )