Sabendo que f : R → R é derivável em a ∈ ]0, +∞[ , calcule lim(x→a) (f(x) - f(a)) / (raiz(x) - raiz(a)) em termos de f'(a) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a

em termos de f   ′ ( a ) . Vamos manipular essa função para aparecer a f   ′ ( a ) pela definição e então utilizar que o limite do produto é o produto dos limites . Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para a função e manipulando

f ( x ) - f ( a ) x - a = f ( x ) - f ( a ) x - a   x + a x + a = f ( x ) - f ( a ) x - a ( x + a )

então aplicando o limite

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a =   l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a ( x + a )

lembrando que o limite do produto é o produto dos limites

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a ( x + a ) = l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a l i m x → a ( x + a )

Passo 3

Agora, identificando a derivada f   ′ ( a ) por definição

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a l i m x → a ( x + a ) = f   ′ ( a ) l i m x → a ( x + a )

e aplicando o limite no segundo termo

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a = f   ′ ( a ) l i m x → a ( x + a ) = 2   a   f   ′ ( a )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → a f ( x ) - f ( a ) x - a = 2   a   f   ′ ( a ) .

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