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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Gabriela Coutinho - Lista 4, Questão 5

Sabendo que lim u → 0 ⁡ sin ⁡ ( u ) u = 1 , obtenha o valor de a para que a função f ( x ,   y ) seja contínua

f x ,   y = sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x + y ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) a ,                                                               s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o valor de a para que a função f ( x ,   y ) seja contínua, sabendo que lim u → 0 ⁡ sin ⁡ ( u ) u = 1 .

Bom, pra que uma função seja contínua em um ponto x 0 ,   y 0 , seu limite precisa existir e ser igual ao valor da função no ponto:

lim x ,  y   →   x 0 ,   y 0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( x 0 ,   y 0 )

Então, vamos calcular o limite para quando a nossa função tende a ( 0 ,   0 ) e obter o valor de a através dele.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo o limite:

lim x ,  y   →   0 ,   0 ⁡ sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x + y

O enunciado nos deu a dica de usar o limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ ( u ) u = 1 , mas pra isso a gente precisa que o argumento do seno e o denominador da nossa função sejam iguais. Então, vamos começar multiplicando a função em cima e embaixo por ( x - y ) :

lim x ,  y   →   0 ,   0 ⁡ ( x - y ) sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) ( x + y ) ( x + y )

Fazendo o produto notável no denominador, temos:

lim x ,  y   →   0 ,   0 ⁡ ( x - y ) sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x 2 - y 2

Agora olha a mágica acontecendo rs. Fazendo a mudança de variável, u = x 2 - y 2 , vamos ter:

lim x ,  y   →   0 ,   0 ⁡ sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x 2 - y 2 = lim x ,  y   →   0 ,   0 ⁡ sin ⁡ ( u ) u = 1

Então, nosso limite vai ficar:

lim x ,  y   →   0 ,   0 ⁡ sin ⁡ ( x 2 - y 2 ) x 2 - y 2 ∙ x - y = l i m x ,   y   →   0 ,   0 ( x - y )

Aplicando o limite:

l i m x ,   y   →   0 ,   0 x - y = 0 - 0

= 0

Sendo assim, para que a função seja contínua, teremos a = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 0

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )