UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.9a
Seja
Determine o domínio de e escreva a expressão da função sem usar módulo. Verifique se a função é par ou ímpar, ou injetora. Justifique sua resposta provando ou dando contra-exemplo.
Passo 1
Ooii gente, tudo na paz com vocês?
Nessa questão temos uma função dada por:
Pra começar, devemos determinar o domínio de e também reescrever essa função sem usar o módulo. Depois disso, também devemos determinar a paridade da função, e também se ela é ou não injetora.
Mas, vamos com calma, fiquem tranquilos 😊.
Começando pelo domínio, precisamos avaliar pela expressão de se tem algum valor de que pode trazer alguma restrição matemática. Beleza?
Pra tirar o módulo, precisamos lembrar que:
Já pra determinar a paridade, devemos lembrar que:
E, por fim, pra determinar se uma função é injetora, devemos lembrar da definição de injetividade:
é injetora se, e somente se:
Ou seja, valores diferentes de nos dão valores diferentes de .
E aí, tá acompanhando bem até aqui?! Vamo simbora!!
Passo 2
Começando pelo domínio de , temos que:
O único ponto que poderia causar problema matemático na expressão de é quando temos o denominador nulo. Ou seja, se tivéssemos:
a função não estaria definida. Portanto, o nosso domínio contém todos os reais, exceto .
Tranquilo?!
Passo 3
Vamos agora escrever a expressão de sem o módulo. Temos:
Temos dois módulos nessa expressão. Vamos analisar cada um deles:
Já para o outro módulo, temos:
Logo, podemos dividir a nossa função em intervalos:
Substituindo o módulo pelo valor apropriado em cada um desses intervalos, vamos ter:
- :
- :
Perfeito galera! Podemos então definir nossa função por partes como:
Aí sim galerinha, muito bom 😊
Passo 4
Agora vamos analisar a paridade da função. Pela forma que definimos por partes, em e , temos que a função é constante. Portanto, vai valer que:
Ou seja, função par.
Mas, no intervalo temos:
Enquanto:
Ou seja, o que vale nesse intervalo é que:
Ou seja, função ímpar.
Mas se a nossa função é par em um intervalo e ímpar em outro, é porque na realidade ela não é nem par nem ímpar. Beleza?
Já sobre a injetividade, temos que não é injetora. Pois temos intervalos em que a função é constante, ou seja, vai acontecer:
Tranquilo pessoal?
Então é isso! Matamos a questão 😊
Até a próxima 😊
Resposta
Não é par nem ímpar, e também não é injetora.