UFPE – Cálculo 1 – 1º EE – 2022.1 – Questão 2.
2) Seja
Determine os valores de e para os quais é contínua.
Passo 1
Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?
Bora resolver mais essa juntinhos?
Bom, aqui temos uma função que é definida por 3 condições.
Como queremos os valores de e para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisas:
Os limites laterais, no valor de que a função muda de forma, precisam ser iguais pra função ser contínua, assim cada parte dela ficará “agarradinha” uma na outra e ela será contínua.
Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!
Passo 2
Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é
Assim, analisaremos as funções que atuam pela esquerda ( um pouco menor) e pela a direita ( um pouco maior) de .
Vamos começar a verificação, para isso usaremos a função para calcular o limite lateral a esquerda.
Então:
O limite pelo lado direito de deve ser o mesmo. Então:
Sendo assim, temos essa primeira condição pra que os dois limites sejam iguais:
Ainda não podemos calcular e . Então bora analisar outro ponto, pra gente conseguir montar um sistema.
Passo 3
Repare que no entorno de , para que a função seja contínua também nesta região é necessário que
Vamos precisar analisar de novo o limite pela esquerda e pela direita.
Pela esquerda:
Pela direita:
Como precisamos que o limite pela direita e o limite pela esquerda sejam iguais:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de e , só precisamos resolver o sistema formado pelas equações e .
Vamos então resolver o sistema!
Pela equação , podemos escrever que
Substituindo a equação na equação , temos
E podemos fazer:
Assim:
E como,
Assim, montamos nossa resposta: