Seja

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

b) Existe lim x → 1 ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se existe o limite lim x → 1 ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 . Pra que esse limite exista é necessário que os limites laterais quando x se aproxima de 1 existam e sejam iguais, ou seja:

lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 = lim x → 1 - ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1

Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites laterais de f x - f ( 1 ) x - 1 , onde f ( x ) é nossa função definida por partes, e verificar se os limites são iguais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite pela direita:

lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1

Como aqui temos o limite de x tendendo a 1 pela direita, vamos usar a condição de x ≥ 1 e substituir na expressão:

f x = x + 1

f 1 = 1 + 1 = 2

Substituindo:

lim x → 1 + ⁡ x + 1 - 2 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 1 = 1

Passo 3

Agora vamos verificar o limite lateral pela esquerda, onde temos a condição de x < 1 . Dessa forma, temos:

f x = 2 x

f 1 = 2 ∙ 1 = 2

Substituindo na expressão:

lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 2 x - 2 x - 1

= lim x → 1 - ⁡ 2 ( x - 1 ) x - 1 = lim x → 1 - ⁡ 2 = 2

Sendo assim, lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 ≠ lim x → 1 - ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1

E portanto, lim x → 1 ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1 não existe.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 1 ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   n ã o   e x i s t e

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