Seja

f x = x + 1 ,     x ≥ 1 2 x ,     x < 1

a) A função f ( x ) é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se a função f ( x ) é contínua em x = 1 . Nós podemos dizer que uma função é contínua em um ponto x = a se:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Esse limite existe quando os limites laterais são iguais, ou seja:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )

Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites laterais da função definida por partes para x → 1 pela direita e pela esquerda e verificar se os limites são iguais. Em seguida, vamos verificar se o valor do limite é igual a f ( 1 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando:

lim x → 1 + ⁡ f ( x )

Como aqui temos o limite de x tendendo a 1 pela direita, vamos usar a condição de x ≥ 1 e substituir na expressão:

lim x → 1 + ⁡ x + 1

Dessa forma, temos:

lim x → 1 + ⁡ x + 1 = 1 + 1 = 2

Agora vamos verificar o limite lateral pela esquerda, onde temos a condição de x < 1 . Dessa forma, temos:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ 2 x = 2

Logo, os limites laterais são iguais:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 2

Pra verificar a continuidade, vamos ver se lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 ) . Pela definição da função, x = 1 quando f x = x + 1 , então:

f 1 = 1 + 1 = 2

E temos lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 ) , portanto, a função é contínua em x = 1 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

É   c o n t í n u a   e m   x = 1

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