USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP – Lista 1, Questão 7.13
Seja uma função contínua no intervalo e derivável em , que assume os valores
Considere as afirmações:
A equação tem pelo menos uma solução no intervalo .
A equação tem exatamente uma solução no intervalo .
A função admite um ponto crítico no intervalo .
Pode-se dizer com certeza que:
a. todas as afirmações são falsa.
b. somente as afirmações e são verdadeiras.
c. somente as afirmações e são verdadeiras.
d. todas as afirmações são verdadeiras.
e. somente a afirmação é verdadeira.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos deu uma função contínua em um intervalo fechado e derivável no mesmo intervalo aberto que assume determinados valores. Quê que isso nos lembra?
Se você disse Teorema do Valor médio, acertou!!
Esse Teorema nos diz que dada uma função , contínua em um intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe um número tal que:
Então, vamos avaliar cada afirmativa do enunciado baseados nesse teorema. Vamos lá!
Passo 2
A primeira afirmativa nos diz que “a equação tem pelo menos uma solução no intervalo ”. A nossa função é contínua no intervalo e derivável em . O intervalo está contido no intervalo definido pela função. Então, pelo Teorema do Valor Médio, podemos garantir a existência de pelo menos uma solução no intervalo. Portanto, é verdadeiro.
Já na segunda afirmação, ele nos diz que “A equação tem exatamente uma solução no intervalo .” Isso não é verdade, porque apenas olhando o enunciado podemos idenficar duas soluções para , que são dadas por e .
Por fim, temos que “A função admite um ponto crítico no intervalo ”. Isso também é verdadeiro, porque pelo Teorema do Valor médio, garantimos a existência de e igualando essa derivada a zero, encontramos os pontos críticos da função. Portanto, há pelo menos um ponto crítico no intervalo.
Dessa forma, temos que somente as afirmações e são verdadeiras, letra .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
somente as afirmações e são verdadeiras