UFSC – 2018.1 – P1
Seja uma função contínua tal que e defina por . Considere as afirmações:
- não é contínua
- Existe tal que
- Se então
Então o número exato de afirmações incorretas é:
Não é necessário justificativa.
Passo 1
Galerinha, nesse problema, nós vamos analisar cada uma das afirmativas e vamos determinar se elas estão corretas ou incorretas! Vamos na primeira:
“ não é contínua”
Bom, vamos olhar como a função é composta:
Ela nada mais é do que a subtração entre duas funções de , no enunciado é dito que a função é contínua. Se uma função é composta apenas por funções contínuas, ela é contínua. Logo, como é composta apenas por , então podemos dizer que também é uma função contínua!
Logo, essa afirmativa é INCORRETA!
Passo 2
A segunda afirmativa é a seguinte:
“”
Vamos calcular quem é e quem é :
Logo:
Agora substituindo :
Vamos voltar a nossa soma principal:
Somando todos os termos, ficamos com:
Como o enunciado nos disse que:
Então:
Então a afirmativa inicial está CORRETA!
Passo 3
A próxima afirmação é:
“Existe tal que ”
Bom pessoal, nessa questão, sabemos que:
Substituindo a nossa variável por :
Então sabemos que a relação da afirmação se torna:
O que não é real, logo a afirmativa é INCORRETA!
Passo 4
Vamos pra próxima afirmação:
“”
Bom, ao invés de usar , vamos substituir os valores de em :
Então:
Vamos colocar na equação da nossa afirmativa:
Como estamos aplicando o limite a toda essa expressão de soma e subtração de funções, podemos aplicar o limite a essas partes separadamente:
Como eu não sei quem é essa função , posso jogar o limite dentro do meu argumento dessa função:
Agora temos 4 limites menores pra resolver!
Vamos pensar no primeiro limite:
Quando substituímos , então se torna:
Então quando verificamos o próximo limite:
Então:
Vamos para o próximo limite:
Substituindo o valor de , chegamos em:
A uma indeterminação , então nesse caso, podemos usar a técnica do L’Hospital:
No numerador, vamos ter que aplicar a Regra da Cadeia, pois existe uma função de dentro de outra função:
Voltando ao nosso limite, nós temos:
Agora sim, substituindo o valor de :
Então se:
Então o limite:
Vamos colocar esses limites calculados dentro de nossa função :
Então nossa expressão foi simplificada a:
Como já fizemos anteriormente, vamos substituir:
Fazendo essa conta, encontramos:
Ou seja, a afirmativa é CORRETA!
Passo 5
A próxima afirmação é:
“”
Vamos relembrar quem é :
Logo:
Mas como sabemos dessa relação:
Podemos substituir em :
Então apenas manipulamos para encontrar a nossa afirmativa, ela é CORRETA!
Passo 6
Por fim, a última afirmação é:
“Se então ”
Nesse caso, basta substituir a expressão de dentro de , veja:
Só não se esqueça de mudar os elementos dentro da função de por no caso de :
Substituindo em :
Vamos multiplicar esses elementos:
Vamos simplificar:
E agora subtrair:
Pegou a malícia dessa questão? Quase que passa despercebido o sinal do , mas ainda bem que vimos que:
Logo a afirmativa é INCORRETA!
Resposta
O número de afirmativas incorretas é igual a 3.