UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 1º Estágio - 2016.1, Questão 1c
Seja a função definida por
c) é contínua em ? E em ? Justifique.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função definida por partes, onde ela apresenta uma lei de formação diferente pra cada intervalo considerado, e nós precisamos verificar se ela contínua em e em .
Dizemos que uma função é contínua em quando existe, ou seja:
E quando .
Vamos analisar cada intervalo e verificar o formato da curva correspondente a função naquele intervalo, e calcular os limites para ver se a função atende as duas condições.
Vamos lá!
Passo 2
Quando , nossa função é definida por:
Calculando os limites laterais, temos:
Como os limites laterais são iguais, podemos dizer que o limite existe naquele ponto. Agora vamos verificar se , fazendo:
Logo, a função é contínua em .
Passo 3
Agora vamos verificar o que acontece quando . Nesse caso, temos .
Calculando seus limites laterais quando se aproxima de , temos:
Como os limites laterais são iguais, podemos dizer que o limite existe naquele ponto.
Agora vamos verificar se , fazendo:
Repare que a gente teria uma indeterminação , e . Portanto, a função é descontínua no ponto.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉