Cálculo 1, UFMG, PSUB, 2022.1, Questão 2
Seja a função definida por:
Determine os valores de e para que seja contínua.
Passo 1
Falaaa, blz?? Bora lá para mais uma questãozinha dessa prova.
Esse tipo de questão é bem importante para entender o conceito de continuidade, bora dar uma lembrada nesse conceito?
De forma um pouco menos formal, dizemos que é contínua, se em cada ponto de temos:
Passo 2
Veja que na questão teremos problema apenas no ponto , uma vez que para caras maiores que a função será um polinômio (contínuo) e para caras menores que a função será a divisão de polinômios (contínua)
Ou seja, basta que a gente force que ocorra o que foi falado no ponto , ou seja, queremos que:
Agora, veja que são valores maiores do que 1 e valores menores, ou seja:
Substituindo o valor de :
Basta forçarmos que isso ocorra, bora lá
Passo 3
Olhando para primeira igualdade:
Temos que
Agora precisamos notar algo.
Temos um valor real, ou seja existe. Porém, veja que o denominador vai para zero quando vemos , ou seja, ficaríamos com uma indeterminação.
Como queremos que esse limite exista, precisamos fazer esse denominador nulo sumir, para isso basta que o numerador tenha um termo , pois assim iria cortar, bora forçar isso?
No matematiques, queremos que:
Ou seja:
Por isso:
Ou seja
Dai, podemos voltar para o limite:
Ou seja, temos que:
Assim terminamos com mais um probleminha, bora para o próximo?