USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Fernando Manfio - Lista 4, Questão 6a
Seja uma função definida em ℝ e suponha que exista uma constante tal que
,
para todo .
Prove que é contínua em .
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado nos apresenta uma função definida nos reais tal que exista uma constante , e obedeça a relação
para todo . Nesta alternativa, é pedido para que
Prove que é contínua em .
Para isso vamos usar a definição de continuidade na forma
e algumas propriedades do módulo! Saca só!
Passo 2
Nós temos que
usando propriedades do módulo, podemos escrever que
Se aplicarmos o limite em toda a desigualdade temos que
Agora, precisamos apenas avaliar esses limites e já estaremos encaminhados! Saca só!
Passo 3
Os limites nos extremos são bastantes diretos, temos que
de forma que temos
Agora, pelo teorema do confronto podemos garantir que
Consegue ver a nossa resposta a partir disso?
Passo 4
Note que o segundo termo no limite não depende de , então ele pode sair do limite, de forma que temos
ou simplesmente
Que é a própria definição de continuidade! Essa foi a primeira alternativa! Vamos para a próxima agora!
Resposta
Ao longo dos passos!