Seja f uma função definida em ℝ e suponha que exista uma constante M > 0 tal que

| f(x) - f(p) | ≤ M | x - p |^2 ,

para todo x ∈ R .

(a) Prove que f é contínua em p .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos apresenta uma função f definida nos reais tal que exista uma constante M > 0 , e obedeça a relação

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | 2

para todo x ∈ ℝ . Nesta alternativa, é pedido para que

( a ) Prove que f é contínua em p .

Para isso vamos usar a definição de continuidade na forma

l i m x → p f ( x ) = f ( p )

e algumas propriedades do módulo! Saca só!

Passo 2

Nós temos que

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | 2

usando propriedades do módulo, podemos escrever que

- M | x - p | 2 ≤ f ( x ) - f ( p ) ≤ M | x - p | 2

Se aplicarmos o limite em toda a desigualdade temos que

l i m x → p [ - M | x - p | 2 ] ≤ l i m x → p [ f ( x ) - f ( p ) ] ≤ l i m x → p M | x - p | 2

Agora, precisamos apenas avaliar esses limites e já estaremos encaminhados! Saca só!

Passo 3

Os limites nos extremos são bastantes diretos, temos que

l i m x → p [ - M | x - p | 2 ] = l i m x → p [ M | x - p | 2 ] = 0

de forma que temos

0 ≤ l i m x → p [ f ( x ) - f ( p ) ] ≤ 0

Agora, pelo teorema do confronto podemos garantir que

l i m x → p [ f ( x ) - f ( p ) ] = 0

Consegue ver a nossa resposta a partir disso?

Passo 4

Note que o segundo termo no limite não depende de x , então ele pode sair do limite, de forma que temos

l i m x → p [ f ( x ) ] - f ( p ) = 0

ou simplesmente

l i m x → p f ( x ) = f ( p )

Que é a própria definição de continuidade! Essa foi a primeira alternativa! Vamos para a próxima agora!

Resposta

Ao longo dos passos!

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