Seja f ( x ) uma função e suponha que para todo x ∈ R , f ( x ) ≤ x 2 . Calcule lim x → 0 ⁡ f ( x ) . A função é contínua na origem?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f ( x ) quando x tende a zero, sabendo que o módulo dessa função é menor ou igual a x 2 . E depois ele quer saber se f ( x ) é contínua na origem.

O Teorema do Confronto (ou teorema do Sanduíche) pode nos ajudar nesse caso, porque ele nos diz que se temos uma função f x entre duas outras funções g ( x ) e h ( x ) :

g x ≤ f x ≤ h ( x )

Aplicando o limite nas três:

lim x → a ⁡ g x ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h x

E lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L , então lim x → a ⁡ f x = L . Sacou? Como nossa função está em módulo, f x ≥ 0 e nós sabemos que f ( x ) ≤ x 2 , então só precisamos encontrar o limite de 0 e x 2 quando x → 0 , para obter o limite de f ( x ) .

Por fim, pra saber se a função é contínua na origem basta que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido, que é próprio lim x → 0 ⁡ f x .

Vamos lá!

Passo 2

Como nossa função é limitada, podemos escrever:

0 ≤ f x ≤ x 2

Aplicando o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Como o limite de uma consta é a própria constante, então lim x → 0 ⁡ 0 = 0 . Além disso, lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 também. Então, podemos escrever:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

E, portanto, pelo teorema do Sanduíche:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Como lim x → 0 ⁡ f x existe e é bem definido, podemos dizer que a função é contínua na origem.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x = 0

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   n a   o r i g e m

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )