UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 3.2
Seja uma função e suponha que para todo , . Calcule . A função é contínua na origem?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite de quando tende a zero, sabendo que o módulo dessa função é menor ou igual a . E depois ele quer saber se é contínua na origem.
O Teorema do Confronto (ou teorema do Sanduíche) pode nos ajudar nesse caso, porque ele nos diz que se temos uma função entre duas outras funções e :
Aplicando o limite nas três:
E , então . Sacou? Como nossa função está em módulo, e nós sabemos que , então só precisamos encontrar o limite de e quando , para obter o limite de .
Por fim, pra saber se a função é contínua na origem basta que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido, que é próprio .
Vamos lá!
Passo 2
Como nossa função é limitada, podemos escrever:
Aplicando o limite, temos:
Como o limite de uma consta é a própria constante, então . Além disso, também. Então, podemos escrever:
E, portanto, pelo teorema do Sanduíche:
Como existe e é bem definido, podemos dizer que a função é contínua na origem.
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉