UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.5
Seja uma função tal que para todo temos
Calcule . Mostre que se for contínua então .
Passo 1
Fala aí galerinha, como é que vocês estão?
Nessa questão temos uma função que sempre obedece a relação:
para todo . Então, podemos dizer que pra todo , nossa está limitada entre as duas funções acima. Beleza?
O objetivo do enunciado é que calculemos:
E, que mostremos que se é contínua, temos:
Mas, vamos com calma! Apesar de não conhecermos a lei de formação de (ou seja, qual a expressão de em função de ), nós sabemos que ela está sempre limitada entre:
Isso nos permite usar um teorema bem legal, o teorema do confronto (ou do sanduíche, a depender da sua fome haha).
Basicamente, se uma função está limitada entre e para certos valores de , podemos afirmar que:
se tende a por valores em que a expressão entre e é válida.
Sacaram? Então, vamos usar essa ideia aqui e depois expandimos usar a ideia da continuidade pra chegar em .
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, como vimos no passo anterior, já que:
pra todo .
E, por valores diferentes de zero, pelo teorema do confronto, podemos afirmar que:
Vamos então resolver os limites da direita e da esquerda separadamente. Começando pelo da esquerda:
O primeiro passo é sempre substituir o valor que está tendendo dentro da função. Daí, ficamos com:
Portanto:
Massa! Vamos agora verificar o da direita:
Novamente substituindo dentro da função pelo valor que ele tende no limite, vem que:
Ou seja:
Assim, temos que:
Ué?! Mas, se é menor ou igual e maior ou igual que zero ao mesmo tempo, é porque:
Tan rannnn!! Encontramos o valor do limite pedido 😊
Passo 3
Agora vamos provar que se é contínua, então:
Bom, pra uma função ser contínua em um ponto , precisa ser verdade que:
Se é contínua em todos os pontos, é porque ela também é contínua em . Assim, vale que:
Mas, vimos no item anterior que:
Assim:
Uhuuul! Provamos o que foi pedido.
Eaí, curtiram a solução? Responde Aí!