2. Seja f: R → R uma função que, em todo -1 ≤ x ≤ 1 , vale sen(x) / (1 + x^2) ≤ f(x) ≤ (2x - x^2) / (4 - x^2) .

Verifique se pode garantir que f é contínua em x = 0.

Passo 1

Para verificar se a função f ( x ) é contínua em x = 0 , precisamos analisar o comportamento da função em x = 0 e verificar se o limite dela quando x se aproxima de 0 coincide com o valor da função em x = 0 .

Dado que - 1 ≤ x ≤ 1 , podemos usar o Teorema do Limite de Funções Trigonométricas para analisar o limite de s i n ⁡ ( x ) 1 + x 2 quando x se aproxima de 0 :

l i m x → 0   s i n ⁡ ( x ) 1 + x 2 = s i n ⁡ ( 0 ) 1 + 0 2 = 0

Passo 2

E também, podemos analisar o limite de 2 x - x 2 4 - x 2 quando x se aproxima de 0 :

l i m x → 0   2 x - x 2 4 - x 2 = 2 ⋅ 0 - 0 2 4 - 0 2 = 0

Ambos os limites dão o valor 0 . No entanto, isso não é suficiente para garantir a continuidade da função em x = 0 . Precisamos também verificar se o valor da função em x = 0 coincide com o valor dos limites calculados.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em x = 0 usando as desigualdades dadas:

s i n ⁡ ( 0 ) 1 + 0 2 ≤ f ( 0 ) ≤ 2 ⋅ 0 - 0 2 4 - 0 2

0 ≤ f ( 0 ) ≤ 0

Portanto, f ( 0 ) está limitada entre 0 e 0 , o que significa que f ( 0 ) = 0 .

Resposta

Como o valor dos limites calculados coincide com o valor da função em x = 0 , podemos concluir que a função f ( x ) é contínua em x = 0 .

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