Seja f(x) = (x^3 * sen(1 / |x|)) / |x| , se x ≠ 0 ; 0, se x = 0 .

Em x₀ = 0 pode-se afirmar que f é

a. descontínua;

b. derivável e f'(0) = 1 ;

c. contínua mas não derivável;

d. derivável e f'(0) = 0 ;

e. derivável e f'(0) = -1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar qual das afirmações está correta na situação:

Seja f ( x )   =     x 3 s i n ( 1 | x | ) | x | , se x ≠   0 ; 0, se x   =   0 .

Em x 0   =   0 pode-se afirmar que f é

a. descontínua;

b. derivável e f   ′   ( 0 )   =   1 ;

c. contínua mas não derivável;

d. derivável e f   ′   ( 0 )   =   0 ;

e. derivável e f   ′   ( 0 )   = - 1 .

Vamos utilizar as informações oferecidas para verificar se a função é contínua no ponto x 0   =   0 , e então verificar se podemos calcular sua derivada nesse ponto. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a função é contínua em x 0   =   0 , para isso vamos calcular seus limites laterais, vamos começar pelo limite esquerdo (x

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 - x 3 s i n ( 1 - x ) - x

Como seno é uma função ímpar e limitada entre -1 e 1, temos

l i m x → 0 - x 3 s i n ( 1 - x ) - x = l i m x → 0 - - x 3 s i n ( 1 x ) - x = l i m x → 0 - x 2   s i n ( 1 x ) = 0

Assim,

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 - x 3 s i n ( 1 - x ) - x = 0

Passo 3

Agora,vamos começar calcular o limite direito (x>0):

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 + x 3 s i n ( 1 x ) x

Como seno é uma função limitada entre -1 e 1, temos

l i m x → 0 + x 3 s i n ( 1 x ) x = l i m x → 0 + x 2   s i n ( 1 x ) = 0

Assim,

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 + x 3 s i n ( 1 x ) x = 0

Então a função é contínua, pois

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) = 0 .

Passo 4

Agora podemos calcular sua derivada em x 0 = 0 :

f ' ( x 0 ) = d d x f ( x ) | x = 0 = d d x ( 0 ) = 0

f ' ( 0 ) = 0 .

Então a função é derivável nesse ponto e f   ′   ( 0 )   =   0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d. derivável e f   ′   ( 0 )   =   0 ;

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