UFES, 2018.1, Lista 5, Q23
23) Seja , tal que . Verifique se é contínua em .
Passo 1
Eaaaíi galera do Responde Aí! Vamo detonar essa questão!!
Esse exercício nos pede pra determinar a continuidade de em , mas o problema é que não é falada a lei de formação de , ou seja, não dizem quem é . Em compensação, dão uma informação de outras duas funções que limitam .
Beleza! Sempre que queremos verificar a continuidade de uma função em um ponto precisamos testar se a seguinte afirmação é verdadeira:
Nessa questão, precisamos então verificar isso aqui:
Então bora lá!!
Passo 2
Começando pelo , podemos usar a desigualdade dada. Daí, vem que:
Massa, já podemos chegar a uma conclusão:
Perfeito, já foi a primeira parte. Agora vamos calcular o .
Novamente, precisamos usar a nossa desigualdade, até porque ela é praticamente a única afirmação que temos sobre . Então, aplicando o limite nessa desigualdade, ficamos com:
Top. Agora vamos por partes:
Ok, bora substituir isso na nossa inequação, mas já dá pra ver que vai acontecer algo parecido com o cálculo de né?
Só tem um jeito disso ser verdade:
Aee, descobrimos o que a precisávamos pra analisar a continuidade de .
Passo 3
Voltando pra equação que verifica a continuidade, temos que:
Portanto, é contínua em . Prontinho 😊
Resposta
Sim, é contínua em .