23) Seja f : R → R , tal que x * sen(x) ≤ f(x) ≤ x^2 * cos^2(x), ∀ x ∈ (-π/2, π/2) . Verifique se f é contínua em x = 0 .

Passo 1

Eaaaíi galera do Responde Aí! Vamo detonar essa questão!!

Esse exercício nos pede pra determinar a continuidade de f em x = 0 , mas o problema é que não é falada a lei de formação de f , ou seja, não dizem quem é f . Em compensação, dão uma informação de outras duas funções que limitam f .

Beleza! Sempre que queremos verificar a continuidade de uma função em um ponto precisamos testar se a seguinte afirmação é verdadeira:

lim x → p ⁡ f ( x ) = f ( p )

Nessa questão, precisamos então verificar isso aqui:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Então bora lá!!

Passo 2

Começando pelo f ( 0 ) , podemos usar a desigualdade dada. Daí, vem que:

0 ⋅ s e n 0 ≤ f 0 ≤ 0 2 ⋅ cos 2 ⁡ 0

Massa, já podemos chegar a uma conclusão:

0 ≤ f 0 ≤ 0   ⇒ f 0 = 0

Perfeito, já foi a primeira parte. Agora vamos calcular o lim x → 0 ⁡ f ( x ) .

Novamente, precisamos usar a nossa desigualdade, até porque ela é praticamente a única afirmação que temos sobre f . Então, aplicando o limite nessa desigualdade, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ x s e n x ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x

Top. Agora vamos por partes:

lim x → 0 ⁡ x s e n x = 0 ⋅ 0 = 0

lim x → 0 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x = 0 ⋅ 0 = 0

Ok, bora substituir isso na nossa inequação, mas já dá pra ver que vai acontecer algo parecido com o cálculo de f ( 0 ) né?

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Só tem um jeito disso ser verdade:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Aee, descobrimos o que a precisávamos pra analisar a continuidade de f .

Passo 3

Voltando pra equação que verifica a continuidade, temos que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 = f ( x )

Portanto, f é contínua em x = 0 . Prontinho 😊

Resposta

Sim, f   é contínua em x = 0 .

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