Seja f : R → R , tal que x² * cos²(x) ≤ f(x) ≤ x * sen(x) , ∀x ∈ (-π/2, π/2) . Verifique se f é contínua em x = 0 .

Passo 1

Pelo Teorema do Confronto, se

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ² ⁡ x = l i m x → 0 x s e n ⁡ x = L

então necessariamente

l i m x → 0 f x = L

Por isso, vamos descobrir os limites das funções dadas.

Passo 2

Pelo Teorema do Anulamento:

lim x → 0 ⁡ x 2 cos ² ⁡ x = 0

l i m x → 0 x s e n ⁡ x = 0

Portanto,

L = 0

l i m x → 0 f x = L = 0

Passo 3

Agora, para sabermos se a função f é contínua em x = 0 só falta descobrir o valor de f 0 . Isso pode ser feito usando a relação dada no enunciado. Vamos utilizá-la substituindo x por 0 .

0 2 cos ² ⁡ 0 ≤ f 0 ≤ 0 s e n ⁡ 0

0 ≤ f 0 ≤ 0

Portanto f ( 0 ) só pode ser igual a 0 .

f 0 = 0

Como

l i m x → 0 f x = 0 = f ( 0 )

significa que a função é contínua em 0 .

Resposta

S i m

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