Seja f: R → R , tal que:

x^2 * cos^2(x) ≤ f(x) ≤ x * sen(x)

Para todo x ∈ (-π/2, π/2) ).

Mostre que f é contínua em x = 0

Passo 1

A questão quer que a gente prove a continuidade da função no ponto   x = 0   . Para isso, sabemos que f ( 0 ) tem que ser igual ao lim x  → 0 ⁡ f ( x ) . Vamos então começar substituindo x por 0 na expressão dada:

0 2 c o s 2 0 ≤   f 0 ≤   0   s e n 0 = 0   ≤   f ( 0 )   ≤ 0

Portanto:

f 0 = 0  

Passo 2

Agora vamos aplicar lim x → 0 ⁡ em cada membro da inequação para tentar descobrir lim x  → 0 ⁡ f ( x )

lim x  → 0 ⁡ x 2 c o s 2 ( x )   ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤   lim x → 0 ⁡ x   s e n ( x )

Resolvendo os limites das extremidades separadamente teremos:

lim x  → 0 ⁡ x 2 c o s 2 ( x ) =   lim x  → 0 ⁡ x 2 ∙   lim x  → 0 ⁡ c o s 2 x = 0

E

lim x → 0 ⁡ x   s e n ( x ) = 0

Botando esses resultados na inequação ela fica:

0   ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤ 0  

E finalmente, pelo TEOREMA DO CONFRONTO, podemos afirmar que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0  

Então, já que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 = f 0

Podemos afirmar com certeza que a função f é contínua no ponto x = 0  

Resposta

f é contínua no ponto x = 0  

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