Seja f   : R   →   R , tal que:

x 2 c o s 2 ( x )   ≤   f ( x )   ≤   x   s e n ( x )

Para todo x ∈ ( - π / 2 , π / 2 ).

Mostre que f é contínua em x   =   0  

Passo 1

A questão quer que a gente prove a continuidade da função no ponto   x = 0   . Para isso, sabemos que f ( 0 ) tem que ser igual ao lim x  → 0 ⁡ f ( x ) . Vamos então começar substituindo x por 0 na expressão dada:

0 2 c o s 2 0 ≤   f 0 ≤   0   s e n 0 = 0   ≤   f ( 0 )   ≤ 0

Portanto:

f 0 = 0  

Passo 2

Agora vamos aplicar lim x → 0 ⁡ em cada membro da inequação para tentar descobrir lim x  → 0 ⁡ f ( x )

lim x  → 0 ⁡ x 2 c o s 2 ( x )   ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤   lim x → 0 ⁡ x   s e n ( x )

Resolvendo os limites das extremidades separadamente teremos:

lim x  → 0 ⁡ x 2 c o s 2 ( x ) =   lim x  → 0 ⁡ x 2 ∙   lim x  → 0 ⁡ c o s 2 x = 0

E

lim x → 0 ⁡ x   s e n ( x ) = 0

Botando esses resultados na inequação ela fica:

0   ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤ 0  

E finalmente, pelo TEOREMA DO CONFRONTO, podemos afirmar que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0  

Então, já que lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0 = f 0

Podemos afirmar com certeza que a função f é contínua no ponto x = 0  

Resposta

f é contínua no ponto x = 0  

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )