Sejam f , g : A ⊆ R → R com lim x → p ⁡ f x = 0 e g ( x ) ≤ M para todo x ∈ A , M fixado. Mostre que lim x → p ⁡ f x g ( x ) = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma função f ( x ) que tem o limite igual a zero quando x tende a p , e uma função g ( x ) que é menor ou igual a um valor M . E ele quer que a gente mostre que o limite do produto f x g ( x ) é igual a zero quando x → p .

Das propriedades dos limites, nós temos que:

lim x → p ⁡ f x g x = L 1 ∙ L 2 = lim x → p ⁡ f x ∙ lim x → p ⁡ g ( x )

Ou seja, o limite de um produto é igual ao produto dos limites dos fatores. Onde lim x → p ⁡ f x = L 1 e lim x → p ⁡ g ( x ) = L 2 . Vamos usar essa propriedade para demonstrar nosso resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Pela propriedade do produto dos limites, temos:

lim x → p ⁡ f x g x = lim x → p ⁡ f x ∙ lim x → p ⁡ g ( x )

Mas o enunciado nos disse que lim x → p ⁡ f x = 0 . Para g ( x ) ≤ M , vamos ter:

lim x → p ⁡ f x ∙ lim x → p ⁡ g x = 0 ∙ M = 0

Sendo assim, independente do valor do limite lim x → p ⁡ g ( x ) , lim x → p ⁡ f x g ( x ) = 0 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → p ⁡ f x g ( x ) = 0

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