5. Sejam e números reais tais que a função
É contínua. Calcule .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função contínua e precisamos achar , mas repara que para fazermos isso temos que descobrir antes quem é e .
Para descobrir quem é e , vamos usar a definição de continuidade. Para quem não lembra, temos que uma função é contínua num ponto quando:
Onde neste caso será o ponto onde a função muda de cara, ou seja, .
Bora aplicar!
Passo 2
Aplicando a definição de limite ficamos com
Ou seja,
Mas repara que se substituirmos no calculo, caímos em uma indeterminação. E para esse limite existir, esse denominador tem que sumir. Então de um jeito ou de outro, essa função tem que ser fatorada.
Passo 3
Vamos reescrever o nosso numerador. Repara que podemos colocar o em evidência
Repara que temos multiplicando por equação de segundo grau, que pode ser escrito como
Onde, as raízes da equação são e . Note, que admitimos que é uma raiz, pois vimos no passo anterior que ela tem que ser fatoravel para resolvermos a indeterminação.
Reescrevendo
Logo,
Ou seja,
Agora vamos descobrir quem é e .
Passo 4
Repara que agora que sabemos quem é , temos a seguinte igualdade
Fazendo a distributiva, ficamos com
Opaaa, deste modo temos que
Agora vamos voltar a nossa função original!
Passo 5
Tinhamos que
E já sabemos quem é e , logo,
Como queremos calcular , podemos substituir,