Suponha que f: [0,1] → R é contínua, f(0) = 1 e f(x) é um número racional para todo o x ∈ [0, 1] . Prove que f(x) = 1 , para todo x ∈ [0, 1] .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um intervalo fechado de 0,1 onde x é um número racional que pertence a esse intervalo.

A questão nos pede para provar que nesse intervalo, f x = 1 .

Bom... de cara a gente pensa: “se f x é um número racional para todo o x ∈ 0,1 , então f x sempre vai ser igual a 1 nesse intervalo”.

Mas será se é só isso??? Bora junto!! 😉

Passo 2

Bom... por definição, entre dois números racionais, temos sempre pelo menos um número irracional.

No enunciado, temos que f x é racional para todo o x em seu domínio.

Dessa forma, se adotássemos valores f x ≠ 1 para x ≠ 0 , teríamos “saltos” na função para que alocássemos apenas valores racionais.

E isso é impossível pois uma função com saltos não é contínua e, portanto, não respeitaríamos as restrições do enunciado.

Assim, obrigatoriamente f x = 1 para todo x ∈ 0,1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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