UFJF, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Cálculo 2 - UFJF - 2° Lista - 2022.2, Questão 7b
Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
b)
Passo 1
Oi gente, tudo certinho?
Nos foi dada uma função de duas variáveis, , que é definida por partes como:
Sobre essa função, o enunciado nos pede pra verificar se ela é contínua no ponto
Como é que a gente verifica continuidade mesmo?
Então, precisamos apenas analisar se:
Onde é justamente o ponto que queremos ver se a função é contínua.
Show?
Vamo simbora, primeiro calculamos o limite e depois o valor da função no ponto .
Passo 2
Bom, pra começar devemos calcular:
Vimos que é definida por partes:
Então, pensa comigo:
Quando está tendendo a , esse valor ainda não foi atingido, estamos apenas próximos dele. Portanto, a lei que rege a função deve ser:
Logo, o nosso limite fica:
Show, e como podemos calcular esse limite?
Uma dica legal é que, como o expoente máximo do numerador é igual ao expoente máximo do denominador (ambos valem ), podemos testar o valor do limite através da reta genérica:
Massa! Vamo fazer essa substituição no próximo passo!
Passo 3
Substituindo isso no nosso limite, vamos ter:
Cancelando o termo :
Ih rapaz...O resultado do limite depende de , ou seja, depende do caminho. Se testarmos, por exemplo, , teremos:
Já se testarmos por teremos:
Deu dois valores diferentes!
Lembra o que isso significa?
Se o limite assume valores diferentes por caminhos diferentes, então ele na verdade não existe!
Portanto, esse limite:
Não existe!
Sendo assim, é impossível que ocorra:
Já que o lado esquerdo sequer existe!
Portanto, concluímos que não é contínua em .
Resposta
Não é contínua.