UFES, 2018.1, Lista 5, Q22
22) Verifique se existe tal que seja contínua em .
Passo 1
Faaaaala galerinha, como vocês estão?
Esse exercício nos dá uma função que é definida por partes, e quer que a gente verifique se existe que torne ela contínua nos reais. Se a gente olhar pra lei de formação dela, temos dois polinômios, e um polinômio sempre é contínuo (bizu hein!). Ou seja, só precisamos nos preocupar com o ponto em que a lei de formação de está mudando, ou seja, em .
Passo 2
Bora lá então!
Pra analisar se a função é contínua em um ponto, sempre precisamos verificar se é verdade:
Mas, como nesse caso é definida por partes, para que o seu limite exista, também precisa ser verdade que:
Assim, no final das contas, o que a gente precisa mesmo verificar é se:
Vamos pros cálculos!!
Ótimo, a primeira parte já funcionou para qualquer valor de . Isso era esperado devido à forma que a função tá definida, pois em ela tem a mesma lei de formação de , a qual é um polinômio, que é sempre contínuo.
Bora calcular o limite lateral à direita!
Opa, já nesse caso o resultado depende de .
Passo 3
Beleza, como precisamos garantir que esses limites sejam todos iguais e também iguais a . Temos:
Excelente!! Isso significa que existe sim que torna contínua nos reais, e vale .
Resposta
Sim,