UFES, 2018.1, Lista 5, Q21
21) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.
Em .
Passo 1
Eaí galera do Responde Aí!! Vamo matar mais uma questão!
Esse exercício pede pra gente verificar se a função é contínua em . Sempre que vamos verificar continuidade em um ponto, precisamos descobrir se é verdade:
Nesse caso então, precisamos descobrir se:
E a expressão que vamos substituir por será:
Porque o nosso tende a 1, mas na teoria nunca atinge realmente esse valor.
Passo 2
Boa, agora vamos pra conta. Queremos calcular o seguinte limite:
A primeira coisa que precisamos fazer é substituir e ver o que acontece. Nesse caso, vamos ter:
Não pode né?! É uma indeterminação matemática.
Temos que calcular na mão mesmo. Uma ideia que pode ser interessante é a gente tentar racionalizar esse quociente. Pra fazer isso podemos pensar na fatoração da subtração de cubos e dar uma adaptada, se liga:
Agora vamo aplicar um truque. A gente vai dizer que:
e
Daí, vem que:
Top, então pra racionalizar , basta multiplicarmos em cima e em baixo por .
Fazendo isso, temos:
Passo 3
Beleza! Já melhorou um pouco porque tiramos a raiz do denominador, mas ainda estamos com uma indeterminação. A ideia agora é usar uma fatoração mais simples, a diferença dos quadrados, pra conseguir fazer aparecer no numerador também. Então:
Beleza, vamos multiplicar por em cima e em baixo:
Olha que massa, conseguimos finalmente tirar o zero do denominador, e como um bônus tiramos ele do numerador também. Agora podemos aplicar o limite.
Olha só, que coisa boa! Encontramos que:
Portando, a função é contínua em .
Prontinho, conseguimos!! 😊
Resposta
é contínua em .