20) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x =   x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x             s e         x ≠ 0 1                                                 s e       x = 0

Em x =     0 .

Passo 1

Fala galerinha, tudo bom com vocês?

Essa questão nos pede para verificar se f é contínua em x = 0 . Então, pra verificar a continuidade de uma função em um ponto, precisamos sempre verificar se:

lim x → p ⁡ f ( x ) = f ( p )

Se isso for verdade, f é contínua em x = p .

Daí, pra esse exercício precisamos ter que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = f 0 = 1

E quem é o f ( x ) que vamos substituir na expressão do limite? x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x ou 1 ?

Devemos substituir f x = x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x porque no nosso limite, x apenas tende a zero, ou seja, na teoria ele ainda é diferente de zero!

Passo 2

Hora das contas!! Queremos calcular:

lim x → 0 ⁡ x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x

Se substituirmos x = 0 na nossa expressão já temos uma pista do que usar, porque isso vai dar algo do tipo 0 ⋅ cos ⁡ 1 0

Precisamos chamar o nosso querido teorema do anulamento, bora dar uma revisada nele antes:

Se f é uma função limitada e g é uma função tal que lim x → p ⁡ g x = 0 , então lim x → p ⁡ f ⋅ g = 0

Bora dizer quem é f e g nesse caso, pra verificar se as condições do teorema são obedecidas.

f x = cos ⁡ 1 x ⇒ - 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Massa, f de fato é limitada.

g x = x 3 ⇒ lim x → 0 ⁡ g x = 0

Opa, g tende a zero quando x → 0 . Logo, podemos usar o nosso teorema que nos dá a seguinte conclusão:

lim x → 0 ⁡ x 3 ⋅ cos ⁡ 1 x = 0

Puts, mas como vimos lá em cima a gente precisava que esse limite fosse igual a f 0 = 1 .

Então, isso significa que f ( x ) não é contínua em x = 0 .

Resposta

f ( x ) não é contínua em x = 0 .

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