UFES, 2018.1, Lista 5, Q20
20) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.
Em .
Passo 1
Fala galerinha, tudo bom com vocês?
Essa questão nos pede para verificar se é contínua em . Então, pra verificar a continuidade de uma função em um ponto, precisamos sempre verificar se:
Se isso for verdade, é contínua em .
Daí, pra esse exercício precisamos ter que:
E quem é o que vamos substituir na expressão do limite? ou ?
Devemos substituir porque no nosso limite, apenas tende a zero, ou seja, na teoria ele ainda é diferente de zero!
Passo 2
Hora das contas!! Queremos calcular:
Se substituirmos na nossa expressão já temos uma pista do que usar, porque isso vai dar algo do tipo
Precisamos chamar o nosso querido teorema do anulamento, bora dar uma revisada nele antes:
Se é uma função limitada e é uma função tal que , então
Bora dizer quem é e nesse caso, pra verificar se as condições do teorema são obedecidas.
Massa, de fato é limitada.
Opa, tende a zero quando . Logo, podemos usar o nosso teorema que nos dá a seguinte conclusão:
Puts, mas como vimos lá em cima a gente precisava que esse limite fosse igual a .
Então, isso significa que não é contínua em .
Resposta
não é contínua em .