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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – REOF – Questão 3a

Calcule a derivada das funções abaixo

a )   f x = x 3 t g   x 3 t g   x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão pede para encontrarmos a derivada dessa função aqui

f x = x 3 t g   x 3 t g   x

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

é lembrando das regras de derivação que aprendemos! Como essa função não está exatamente na lista de fórmulas (derivada de polinômio, trigonométrica, exponencial, etc...) precisamos tentar enxergar a função como um produto/quociente/função composta e aplicar as regras!

Belezinha até aqui?

Nada mais justo do que lembrarmos delas...

Regra do produto

f g ' = f ' g + g ' f

Regra do quociente

f g ' = f ' g - g ' f g 2

Regra da cadeia

f g ' = f ' g .   g '

Agora que relembramos, vamos olhar com mais carinho para nossa função

x 3 t g   x 3 t g   x

Ela pode ser vista como um produto de x 3 por t g x 3 t g x , então aqui usamos a regra do produto!

Mas e a tangente? Ah, ela está na categoria de função composta, pois em seu argumento temos outra função! Então para achar a derivada dessa parte, vamos aplicar a regra da cadeia (e em seu interior temos outra regra do produto...)

Então é isso, a ideia aqui é ir aplicando as regras de derivação nas partes da função e ir desenrolando esse negócio! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos derivar essa função

x 3 t g   x 3 t g   x

Então vamos aplicar primeiro a regra do produto

x 3 t g   x 3 t g   x ' = x 3 ' . t g   x 3 t g   x + t g   x 3 t g   x ' . x 3

A derivada de x 3 é tranquila de se achar, é a derivada de um monômio

x 3 ' = 3 x 2

Aí temos que

x 3 t g   x 3 t g   x ' = 3 x 2 t g   x 3 t g   x + x 3 t g   x 3 t g   x '

Tudo bem até aqui? Guarda nosso resultado!

Nossa missão é derivar t g   x 3 t g   x ' , vamos fazer isso separadamente!

Passo 3

Precisamos derivar essa coisa agora

t g   x 3 t g   x '

Temos que no argumento da tangente temos outra função: então vamos usar a regra da cadeia

f g ' = f ' g . g '

No nosso caso f g = t g ( x 3 t g ( x ) ) e g x = x 3 t g   x . Aí temos

t g   x 3 t g   x ' = x 3 t g x   . x 3 t g x '

Tudo bem até aqui?

Viu que encontramos outro produto de funções? Então para derivar aquela parte vamos aplicar a regra do produto novamente!

x 3 t g x ' = x 3 ' . t g   x + t g x ' . x 3 = 3 x 2 t g x + x 3 s e c ( x )  

Aí a derivada de t g   x 3 t g   x '   é

t g   x 3 t g   x ' = x 3 t g x   . x 3 t g x ' = x 3 t g x   . 3 x 2 t g x + x 3 s e c ( x )    

Show de bolinhas!

Passo 4

Nossa missão agora é retornar para nossa função original! Sabe aquele resultado que pedi para você guardar? Então, vamos resgatar ele lá do passo 2 :

x 3 t g   x 3 t g   x ' = 3 x 2 t g   x 3 t g   x + x 3 t g   x 3 t g   x '

No passo 3 achamos a derivada de t g   x 3 t g   x :

t g   x 3 t g   x ' = x 3 t g x   . 3 x 2 t g x + x 3 s e c ( x )    

Agora é só substituir o resultado na derivada da nossa função:

x 3 t g   x 3 t g   x ' = 3 x 2 t g   x 3 t g   x + x 3 x 3 t g x   . 3 x 2 t g x + x 3 s e c ( x )  

Ficou um resultado enorme né? Mas é isso mesmo! A derivada dessas funções mais complexas fica esse trem grande mesmo!

E é isso galera! Vamos para a próxima?

Resposta

f ' x = 3 x 2 t g   x 3 t g   x + x 3 x 3 t g x   . 3 x 2 t g x + x 3 s e c ( x )  

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