UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 3.1.10
Determine .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o valor do limite:
A forma mais fácil de fazer isso é observando que, usando a função , essa equação descreve a derivada da função no ponto (pela definição de derivada). Então, calculando , vamos obter o valor do limite.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos calcular a derivada de , usando a Regra da Cadeia (fazendo a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro). Assim, vamos ter:
Repare que em , a gente também tem uma função composta, então a gente usa a Regra da Cadeia de novo:
E a derivada da tangente é secante ao quadrado, então temos:
Simplificando os termos semelhantes:
E usando a identidade trigonométrica , temos:
Mas, não podemos esquecer que queremos . Então, substituindo , temos:
Que é o resultado do nosso limite .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉