Calcule, caso exista

v )   lim x → - ∞ ⁡ 6 x + 1 6 x - 1 x      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → - ∞ ⁡ 6 x + 1 6 x - 1 x    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo ∞ ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → - ∞ ⁡ 6 x + 1 6 x - 1 x     = lim x → - ∞ ⁡ e ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ e x ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1  

Substituindo o x por - ∞ ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! então já tá melhor!

Passo 3

Podemos organizar um pouco mais para termos uma indeterminação do tipo da regra de L’hospital

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1   = lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1 1 x  

Agora sim temos uma indeterminação do tipo 0 0 e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → - ∞ ⁡ - 12 ( 6 x + 1 ) ( 6 x - 1 ) - 1 x 2   = lim x → - ∞ ⁡ 12 x 2 ( 36 x 2 - 1 )  

No infinito podemos desprezar aquele - 1 do denominador e ficamos com

lim x → - ∞ ⁡ 12 x 2 ( 36 x 2 )   = 12 36 = 1 3

E retornando para a exponencial

e lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ 6 x + 1 6 x - 1  

= e 1 3

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 1 3

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