44. Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x = 0

Ilustre, fazendo os gráficos das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto) na mesma tela.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos usar o teorema do confronto para mostra que

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x = 0

O Teorema do Confronto diz que se temos as funções g x ,   f x e h ( x ) e temos que:

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h x = L

E:

g x ≤ f x ≤ h x

Então, resulta destas condições que:

lim x → a ⁡ f x = L

Passo 2

Como temos uma função seno ali no meio, vamos usar o fato da função seno estar sempre entre -1 e 1:

- 1 ≤ sen ⁡ π x ≤ 1

Agora podemos multiplicar por x 3 + x 2 em cada parte:

- x 3 + x 2 ≤ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ x 3 + x 2

E aplicamos o limite, com x tendendo a zero:

lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2

Calculando os limites das pontas, encontramos:

lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 = - 0 3 + 0 2

= 0

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 = 0 3 + 0 2

= 0

Então:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ 0

E, pelo teorema do confronto:

lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x = 0

Passo 3

Usando:

lim x → 0 ⁡ - x 3 + x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ π x ≤ lim x → 0 ⁡ x 3 + x 2

Conseguimos achar as funções f ,   g   e   h :

f x = x 3 + x 2 sen ⁡ π x

g x = - x 3 + x 2

h x = x 3 + x 2

Plotando no gráfico:

Em verde temos a f , em vermelho temos a g e em azul temos a h .

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados