Calcule os seguintes limites:

g(lim(x, y, z) → (0, 0, 0)) z sen[(x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2)] (h) lim (x, y) -> (0, 0) [(y + 1) * sen(xy)] / y

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos resolver os seguintes limites

( g )   l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] ( h )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y + 1 )   s e n ( x y ) y

ambos os limites apresentam algum tipo de indeterminação! O primeiro vamos tentar trabalhar usando o teorema do confronto e o segundo pode ser tratado usando o limite fundamental trigonométrico, vamos dar uma olhada! Saca só!

Passo 2

Primeiro temos o limite

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ]

avaliar o limite nos valores indicados não nos adianta muito neste caso! Mas, vamos lembrar a seguinte propriedade das funções seno

- 1 ≤ s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] ≤ 1

note que isso é válido independentemente do que está dentro do seno! Mas, não é exatamente a função que queremos, correto? Vamos multiplicar tudo por z , temos que

- z ≤ z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] ≤ z

Agora, no meio temos a função desejada! Consegue ver como usar essa relação para obter nosso limite?

Passo 3

Se avaliarmos o limite em toda a desigualdade, temos que

- l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z ≤ l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] ≤ l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z

Como temos que

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z = l i m z → 0 z = 0

Nossa desigualdade se torna

0 ≤ l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] ≤ 0

única forma desta desigualdade ser verdade é se

l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] = 0

O primeiro limite foi isso! Vamos para o próximo!

Passo 4

Temos que resolver agora

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y + 1 )   s e n ( x y ) y

vamos expandir um pouco este limite, temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y + 1 )   s e n ( x y ) y = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) y   s e n ( x y ) y + s e n ( x y ) y = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) + l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) y

O primeiro limite na expressão acima é obtido apenas avaliando os valores. O segundo, é um pouco mais complicado, mas se lembrarmos que

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

podemos reescrever o limite desejado multiplicando e dividindo por ( x y ) para obter

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) + l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) y = 0 + l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y x y y = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y x

usando então o limite trigonométrico fundamental que apresentei acima, temos que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y x = l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) s e n ( x y ) x y l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) x = ( 1 ) ( 0 )

e, portanto, nosso limite é

l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y + 1 )   s e n ( x y ) y = 0

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( g )   l i m ( x , y , z ) → ( 0,0 , 0 ) z   s e n [ ( x 2 y 2 + z 2 ) - 1 / 2 ] = 0 ( h )   l i m ( x , y ) → ( 0,0 ) ( y + 1 )   s e n ( x y ) y = 0

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