Seja f: [0, 1] → R contínua, com f(0) = 1 e f(x) ∈ Q para todo x ∈ [0, 1] . Mostre que f(x) = 1 para todo x ∈ [0, 1] .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um a função f com domínio no intervalo [ 0 ,   1 ] e pediu pra gente mostrar que f x = 1 , para todo x nesse intervalo.

Pra resolver essa questão, vamos pensar nos números racionais, dos quais a função faz parte e na continuidade da função.

Vamos lá!

Passo 2

Por definição, entre dois números racionais, temos pelo menos um um irracional. No enunciado, temos que ( x ) é racional para todo x em seu domínio, se adotássemos valores f x ≠ 1 para x ≠ 0 , teríamos “saltos” na função para que alocássemos apenas valores racionais. Isso não seria possível, pois a função não seria contínua e, portanto, não respeitaríamos as restrições do enunciado.

Logo, f x = 1 , obrigatoriamente, para todo x em [ 0 ,   1 ] .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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