15) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x + 1 - 1 x

Passo 1

Fala pessoal!

Bora começar substituindo x = 0 na expressão do limite. Um negócio legal de perceber é que, esse x → 0 + é só porque o x não pode ser negativo devido à condição de existência da raiz.

⇒ lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x + 1 - 1 x = cos ⁡ 1 0 ⋅ s e n 1 - 1 0

Po, n dá nem pra saber quanto é que vai valer esse cosseno ou seno porque é indeterminado ☹

Passo 2

Vamos precisar pensar de outra forma. A ideia é tirar a indeterminação de dentro do argumento. O argumento do cosseno parece ter muita pouca coisa para desenvolver, já o do seno tem mais possibilidades. Então, vamos usar a diferença de quadrados pra tirar esse resultado nulo do numerador:

x + 1 - 1 x + 1 + 1 = x + 1 - 1 = x

Bora substituir isso no nosso limite então:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x + 1 - 1 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x x x + 1 + 1

=   lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x x + 1 + 1

Ótimo, isso já é muito bom!

Passo 3

Vamos agora revisar um teorema que vai nos ajudar nessa questão. É o teorema do anulamento! Ele diz o seguinte:

Se f é uma função limitada e g é uma função tal que lim x → p ⁡ g ( x ) = 0 , então lim x → p ⁡ f ⋅ g = 0 .

Massa né? É isso que acontece com esse último limite que chegamos.

f x =   c o s 1 x é uma função limitada, pois: - 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

E, por outro lado, g x = s e n x x + 1 + 1 tende a zero quando x → 0 + .

Portanto, como as condições do nosso teorema foram obedecidas, podemos dizer que:

lim x → 0 + ⁡ f ⋅ g = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x x + 1 + 1 = 0  

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x ⋅ s e n x + 1 - 1 x = 0

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