UFES, 2018.1, Lista 5, Q15
15) Calcule cada limite, quando possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Fala pessoal!
Bora começar substituindo na expressão do limite. Um negócio legal de perceber é que, esse é só porque o não pode ser negativo devido à condição de existência da raiz.
Po, n dá nem pra saber quanto é que vai valer esse cosseno ou seno porque é indeterminado ☹
Passo 2
Vamos precisar pensar de outra forma. A ideia é tirar a indeterminação de dentro do argumento. O argumento do cosseno parece ter muita pouca coisa para desenvolver, já o do seno tem mais possibilidades. Então, vamos usar a diferença de quadrados pra tirar esse resultado nulo do numerador:
Bora substituir isso no nosso limite então:
Ótimo, isso já é muito bom!
Passo 3
Vamos agora revisar um teorema que vai nos ajudar nessa questão. É o teorema do anulamento! Ele diz o seguinte:
Se é uma função limitada e é uma função tal que , então .
Massa né? É isso que acontece com esse último limite que chegamos.
é uma função limitada, pois:
E, por outro lado, tende a zero quando .
Portanto, como as condições do nosso teorema foram obedecidas, podemos dizer que: