O limite lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x existe?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar se o limite da função g x = x sin ⁡ 1 x existe quando x se aproxima muito de 0 .

O Teorema do Confronto (ou teorema do Sanduíche) pode nos ajudar nesse caso, porque ele nos diz que se temos uma função g x entre duas outras funções f ( x ) e h ( x ) :

f x ≤ g x ≤ h ( x )

Aplicando o limite nas três:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ g x ≤ lim x → a ⁡ h x

E lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ g x = L . Sacou? Precisamos encontrar uma função f menor do que g e uma função h maior do que g , tal que f ( x ) e h ( x ) tendam a zero. Encontrando o limite dessas duas funções, nós vamos ter o limite de g x = x sin ⁡ 1 x , porque ela está entre as duas funções.

Vamos lá!

Passo 2

Nós sabemos que o seno é uma função limitada entre - 1 e 1 , pra qualquer ângulo, então podemos escrever:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

Multiplicando todo mundo por x , vamos ter:

- x ≤ x sin ⁡ 1 x ≤ x

Aplicando o limite fica assim:

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x

Então, nós temos lim x → 0 ⁡ - x = lim x → 0 ⁡ x = 0 . Assim, temos:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x ≤ 0

E pelo Teorema do confronto, o limite existe e tem o resultado:

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0

Exercícios de Livros Relacionados